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Das Anisotropic Reverberation Model (ARM), ein neues und effizientes Rechenverfahren zur vereinfachten Raumakustiksimulation

© 2016 Stefan Drechsler
Dissertation, HafenCity-Universität, Hamburg

Verlag: tredition, Hamburg

ISBN e-Book: 978-3-7345-5047-8(e-Book)
ISBN Hardcover: 978-3-7345-5046-1(Hardcover)

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Abbildungsverzeichnis

Tabellenverzeichnis

Symbole und Formelzeichen

𝐀\mathbf{A}
Momentenmatrix
A2A^2
Isotropiemaß
ai\vec{a}_i
Polygoneckpunkt
aija_{ij}
Element der ARM-Systemmatrix
α\alpha
Schallabsorptionsgrad
ARD
Adaptive Rectangular Decomposition
ARM
Anisotropic Reverberation Model
ART
Acoustic Radiance Transfer
AWP
Acoustical Wave Propagator
B
baryzentrische Projektion
BDTF
Bi-Directional Transfer Function
BEM
Boundary Element Methode
cc
Phasengeschwindigkeit der Wellenausbreitung
C80C_{80}
Klarheitsmaß
CAD
Computer Aided Design
CARAO
Computer Aided Room Acoustics Optimisation, Name eines Forschungsprojektes
DD
optionaler Längenparameter
dd
Diffusitätskoeffizient
dd
Schichtdicke als Filterparameter
d-MCSSP
multi-dimensional Multiple Choice Subset Sum Problem
D50D_{50}
Deutlichkeitsmaß
dB
Dezibel, logarithmisches Verhältnismaß
Δ\Delta
Der Laplacoperator, also für dreidimensionale kartesische Koordinaten 2x2+2y2+2z2\frac{\partial^2}{\partial x^2} + \frac{\partial^2}{\partial y^2} + \frac{\partial^2}{\partial z^2}
djkid_{jki}
diskretisiertes Streumodell
dkd_k
kantenbedingter Diffusitätskoeffizient
drd_r
rauigkeitsbedingter Diffusitätskoeffizient
EE
Empfängerposition
EE
Liste von Regressionsebenen
EDT
Early Decay Time
ff
Frequenz
FDM
Finite Differenzen Methode
FEM
Finite Elemente Methode
fnm(p)f_n^m(p)
Kugeloberflächenfunktionen
fSf_S
Schroeder-Frequenz
G
gnomonische Projektion
GG
Green’sche Funktion
GG
Stärkemaß
gg
Polygongröße
γmn\gamma_{mn}
Koeffizienten der Kugeloberflächenfunktionen
γ2\gamma^2
Varianz der mittleren freien Weglänge
HRT
Heat Radiance Transfer
i,j,ki, j, k
Zählindex
KE
Kegelstreumodell
λ\lambda
Eigenwert
Λ\Lambda
Mittlere freie Weglänge
MM
Anzahl der Wände eines akustisch zu untersuchenden Raumes
MLS
Maximum Length Sequenz
μ\mu
arithmetischer Mittelwert
MxM_x, MyM_y, MzM_z
erste Momente
MxxM_{xx}, MxyM_{xy} \dots
zweite Momente
NN
Anzahl der Richtungsbereiche einer Richtungsdiskretisierung
nn
Anzahl
n\vec{n}
Einheitsnormalenvektor
(n1,n2)(n_1, n_2)
Designparameter für Richtungsdiskretisierungen
𝒪\mathcal{O}
Big-O-Notation für Komplexität von Algorithmen
ODEON
kommerzielles Softwaresystem zur Raumakustiksimulation
Ω\Omega
Raumwinkel
ω\omega
Kreisfrequenz
p(x,t)p(\vec{x}, t)
Schalldruck als Amplitude der Schallwelle
P,QP, Q
Polyeder
P,QP, Q
Polygon
R̲\underline{R}
komplexer Reflexionsfaktor
RR
Ort einer Reflexion
R\vec{R}
Ortskoordinate
RAY
Schallteilchenalgorithmus mit der in dieser Arbeit verwendeten Implementierung
ri\vec{r}_i,rj\vec{r}_j
Richtungsvektoren, vor allem für Einfalls- und Ausgangsrichtung
RWTH Aula
Aula der Rheinisch Westfälischen Technischen Hochschule in Aachen
SS
Fläche, Flächeninhalt
SS
Source, Schallquellenposition
S
Projektion nach Snyder
S\vec{S}
Ortskoordinate des Schwerpunkts
ss
Streugrad, Gesamtstreugrad
S2S^2
Oberfläche der Einheitskugel
σ\sigma
statistische Streuung
sjks_{jk}
Anteil der projizierten Fläche der Wand kk in Richtung jj
sks_k
kantenbedingter Streugrad
SL
Streumodell, das Spiegelung und Lambert’sche Streuung kombiniert
srs_r
rauigkeitsbedingter Streugrad
STI
Speech Transmission Index
SVD
Singular Value Decomposition
τ\tau
Zeitschritt im Euler-Verfahren
T,T20,T30T, T_{20}, T_{30}
Nachhallzeit
T
Projektion nach Tegmark
tt
Zeitvariable
θ\theta
Einfalls-, Ausgangswinkel
VV
Raumvolumen
v\vec{v}
Eigenvektor
VM
Streumodel Vektormixing
x\vec{x}
Vektoren für dreidimensionale Geometrie werden mit einem Pfeil gekennzeichnet
𝐱\mathbf{x}
Vektoren mit mehr als drei Komponenten werden durch Fettschrift gekennzeichnet

1 Einleitung

Mit dem Thema Raumakustik kommt ein interessierter Laie oft nur dann bewusst in Berührung, wenn es um Konzertsäle oder Opernhäuser geht. Weitaus häufiger ist man im Alltag von Raumakustik betroffen, ohne dass dies einem bewusst wird: Unangenehm laute Umgebung in Räumen der Gastronomie, Museen mit schwer zu verstehenden Führungen oder vom Lärm im Klassenzimmer gestresste Lehrer sind nur wenige Beispiele für Situationen, in denen eine Planung der Raumakustik hätte Abhilfe schaffen können.

Auch in der Fachliteratur ist die Königsdisziplin die akustische Behandlung von Konzertsälen unter verschiedenen Aspekten wie praktische Fragestellungen für das Orchester [103], [201], Gestaltungsprinzipien [343] oder der sensorischen Erfassung und Bewertung des Hörerlebnisses [320], [187]. Neben diesem prestigeträchtigen Bereich lebt die Branche der Raumakustik-Beratung aber in erster Linie von eher alltäglichen Problemsituationen, etwa bei den besonderen Anforderungen, wenn in Klassenzimmern [251], [329] nicht nur Frontalunterricht stattfinden soll [11], bis hin zu Räumen zur Religionsausübung [234], [230]. Fälle mit problematischen akustischen Verhältnissen, die auch einer breiteren Öffentlichkeit auffallen, wie etwa der Plenarsaal in Bonn [93], liegen schon etwas länger zurück.

Räume, die im Gegensatz zu Konzertsälen geringere akustische Anforderungen stellen, sind dabei keineswegs einfacher zu simulieren [45], gerade weil außergewöhnliche Situationen im Rechenmodell nachgestellt werden müssen, die man im Konzertsaal vermeidet. In einigen Fällen versagen daher auch einfache Formeln zur Berechnung der Nachhallzeit.

Von den Proportionen eher flache (zum Beispiel Großraumbüros [334]) oder längliche Räume, oder ungleichmäßige Verteilung von akustischen Materialeigenschaften führen zur ungleichmäßigen Verteilung der Eigenschaften der Schallfelder im Raum, auch hinsichtlich der unterschiedlichen Ausbreitungsrichtungen des Schalls. Man ist daher bestrebt, Formeln wie die von Sabine oder Eyring zu erweitern, um zum Beispiel auch schallstreuende Materialeigenschaften berücksichtigen [87] oder die Gestalt des Raumes in eine Simulation mit einfließen lassen zu können [98], [219], [220].

Den Architekten, die in solchen Fällen eine akustische Planung unterlassen haben, ist auch keine Absicht vorzuwerfen, sondern oft lediglich die Unkenntnis der Möglichkeiten der raumakustischen Gestaltung. Das Anliegen, mehr akustische Themen in der Ausbildung an Architekten zu vermitteln [16], [238], ist daher zu unterstützen.

Einen Architekten, der im Bereich der Raumakustik als Laie gilt, mögen auch die Kosten abschrecken, die er von der Planung der Raumakustik von Konzertsälen aus der Tagespresse kennt. Dazu kommt das Problem, das eigentliche Ziel der Raumakustikplanung genau zu definieren: Was ist gute Akustik? Hier hilft die reine Naturwissenschaft nicht weiter; man muss die Wissenschaft der Hörpsychologie mit ins Boot nehmen. Neben allgemeinen Werken der Psychoakustik [96], [349] wird insbesondere in [187] für Konzertsäle eine sensorische Bewertung ihrer Raumakustik angestrebt, ein Forschungsgebiet, auf dem sich noch längst nicht allgemein anerkannte Bewertungskriterien herauskristallisiert haben. Auch zur Bewertung der Klangqualität von Räumen zum Zwecke der Kommunikation wird die Psychoakustik als Werkzeug benutzt [27].

Aus diesem Grund verfolgt man oft eine andere Strategie bei der Akustikplanung. Der Entscheider, also der Bauherr, entscheidet nach persönlichem Geschmack aufgrund eines Hörerlebnisses, das dazu in der Planungsphase simuliert wird. Diese Auralisierung der Raumakustik ist ebenfalls seit Langem Gegenstand der Forschung [28]. Ein Überblick über diese Technologie ist in [335] zu finden. Die Ergebnisse von Simulationstechniken, die später noch genauer beschrieben werden, werden dabei weiteren Rechenschritten unterzogen, um hörbare Ergebnisse zu erzeugen. In [170] und [168] wurde zu diesem Zweck ein Zufallsprozess vorgeschlagen, der mit [78] auch implementiert wurde, um die spezifische Akustik eines Raumes in Audiosignale umzusetzen. Die der Auralisierung zugrundeliegende Kunstkopfstereophonie wird mit ihren theoretischen Grundlagen in [60] beleuchtet. Die Verwendung in einem hybriden Modell wird in [168] erläutert. In einem ähnlichen hybriden Modell verwenden [196] und [332] weißes Gauß’sches Rauschen statt eines Poisson-Prozesses.

Für die Anwendung der Auralisierung steht auch Software frei zur Verfügung [222], mit der in der Planungsphase ein Höreindruck der projektierten Räume erlebt werden kann. Auch wenn die Auralisierung es dem Entscheider erlaubt, die Planung subjektiv und ohne Fachkenntnisse zu beurteilen, erfordert die Auralisierung doch viele Fachkenntnisse beim Planer, so dass es nicht verwunderlich ist, dass Architekten auch hier den Aufwand für das vermeintlich geringe Problem der Raumakustik scheuen.

Im Gegensatz zu Konzertsälen, wo es um die Optimierung der letzten akustischen Nuance für das Musikerlebnis geht, gilt es in alltäglicheren Situationen oft nur, grobe akustische Fehler zu vermeiden.

Dies war eine der Motivationen für ein Drittmittelprojekt an der HafenCity-Universität Hamburg. Bei CARAO (Computer Aided Room Acoustics Optimisation) ging es darum, Algorithmen zu entwickeln und zu implementieren, die Architekten bei der raumakustischen Planung von Innenräumen unterstützen. Dabei standen folgende Teilaspekte im Fokus:

Zum einen sollten Architekten als Nutzer einer Planungssoftware bei der Materialauswahl für Wände, Decken und Böden eines Raumes unterstützt werden, damit die Nachhallzeit – einer der wichtigsten raumakustischen Parameter – innerhalb der empfohlenen Grenzen bleibt.

Zum anderen sollte ein Algorithmus entwickelt werden, der die Lücke schließt zwischen den simplen, nicht immer gültigen Formeln für die Nachhallzeit – am bekanntesten sind hier die Formeln von Sabine und Eyring – und den aufwendigen und Expertenwissen erfordernden Rechenverfahren, die auf Strahlverfolgung und Spiegelschallquellen basieren.

Das dritte Ziel war, typische Fehler der Akustik, wie etwa Flatterechos bereits in der Planung erkennen zu können.

Schließlich sollte, um bereits vorhandene CAD-Daten aus der Planung von Innenräumen nutzen zu können, ein Algorithmus entwickelt werden, der diese Daten für raumakustische Analyseverfahren aufbereitet. Dazu ist insbesondere eine Vereinfachung der Raumgeometrie notwendig.

Die erste Anforderung zielt auf die Optimierung ab, also auf die algorithmische Unterstützung der Raumplanung zum Erreichen gewisser akustischer Kriterien. Es handelt sich also konkret um ein inverses Problem: Vorgegeben ist eine anzustrebende akustische Eigenschaft, zum Beispiel die Nachhallzeit, gesucht ist eine Materialauswahl für die einzelnen Wände des Raumes, mit der die gewünschten Nachhallzeiten erreicht werden. Mitunter sind bei der akustischen Optimierung auch weitere, zum Beispiel finanzielle, Nebenbedingungen zu berücksichtigen [290].

Eine allgemeinere Formulierung des inversen Problems gibt eine gemessene oder angestrebte Raumimpulsantwort vor, aus der die Raumform rekonstruiert werden soll [73]. Abgesehen von der praktischen Herausforderung hat es auch bei der theoretischen Behandlung nach der Veröffentlichung der Fragestellung [148] 26{}{26} Jahre bis zur Antwort [113] gedauert, die zudem nur das zweidimensionale Problem behandelte und außerdem aufzeigte, dass die Ergebnisse – für die Verteilung der Resonanzfrequenzen – nicht eindeutig sind.

Im Rahmen von CARAO wurde das einfachere inverse Problem der vorgegebenen Nachhallzeiten und der gesuchten Materialverteilung als ein multidimensional multiple choice subset sum problem (d-MCSSP) beschrieben, die frühe Version einer Lösung veröffentlicht [75] und eine ausgereiftere Version an den Drittmittelpartner zur Implementierung übergeben. Dieses Verfahren verwendet die Sabine’sche Nachhallformel in einer speziellen Form eines Knapsack-Problems zusammen mit einem heuristischen und interaktiven Lösungsverfahren. Dieser Zweig des CARAO-Projektes ist jedoch nicht Gegenstand dieser Arbeit. Auch eine notwendige Sammlung von Materialdaten, insbesondere von Schallabsorptionsgraden und Streugraden war Aufgabe eines weiteren CARAO-Partners und ist ebenfalls nicht Gegenstand dieser Arbeit.

Das Thema dieser Dissertationsschrift ist im Wesentlichen aus der Anforderung entstanden, ein Rechenmodell zur Behandlung der Raumakustik zu entwickeln, das einfacher gestaltet ist als die etablierten Simulationsverfahren und insbesondere auch weniger akustische Fachkenntnisse vom Benutzer zur Bedienung einer Softwareimplementation desselben verlangt. In diesem Rahmen wird auch eine aus Optik und Radartechnik entlehnte Methode zur Berechnung der Wellenbeugung in der Akustik angewandt. Aufgrund der Eigenschaften des vereinfachten physikalischen Modells erhielt dieses Verfahren die Bezeichnung Anisotropic Reverberation Modell (ARM).

Dieses Modell ist der zentrale Gegenstand dieser Arbeit.

Die Eigenschaften von ARM erlauben auch in einem weiteren Schritt die Erkennung von Flatterechos und erfüllen somit eine weitere Anforderung des CARAO-Projektes. Ein weiterer akustischer Fehler, der Fokussierungseffekt, der auftritt, wenn gewölbte Wand- oder Deckenteile wie ein Hohlspiegel für Schall wirken, kann mit ARM allerdings nicht behandelt werden.

Die vierte Anforderung, die Geometrievereinfachung, war ursprünglich eine Aufgabe des Drittmittelpartners von CARAO. Im Lauf des Projektes fiel diese Aufgabe dann auch dem Autor zu. Da die Geometrievereinfachung ein wesentlicher Bestandteil in der Automatisierung des akustischen Modellierungs- und Berechnungsprozesses ist, wird sie hier ausführlich vorgestellt.

Auch wenn sich die Themenbereiche dieser Arbeit zum großen Teil mit den den Zielen von CARAO decken, soll die Darstellung hier auch ohne nähere Kenntnisse des Drittmittelprojektes verstanden werden können, so dass sich die Hinweise auf CARAO im Wesentlichen auf diese Einleitung beschränken.

Die Hauptthemen dieser Arbeit sind wie folgt in die vorliegende Arbeit eingegliedert. Zu Beginn wird mit Kapitel 2 über den Stand der Technik der Kontext beschrieben, das Thema der Raumakustiksimulation und der Stand der Forschungen auf diesem Gebiet, auf die diese Arbeit Bezug nimmt. Dann wird Kapitel 3 eingeschoben, das das Problem der Geometrievereinfachung behandelt. Auch wenn hier akustische Kriterien einige Vorgaben an den Algorithmus stellen, handelt sich es vorrangig um eine rein geometrische Aufgabenstellung, die den Zusammenhang der folgenden Kapitel nicht unterbrechen soll. Die folgenden Kapitel zum Kernthema, dem Anisotropic Reverberation Model (ARM), beginnen mit einer Motivation (Kapitel 4), in der die Ideen von ARM im Kontext zu anderen Simulationstechniken dargestellt werden, bevor in Kapitel 5 die theoretischen Grundlagen behandelt werden. Die Anwendung des ARM schließt sich in Kapitel 6 an zunächst mit einigen Rechenbeispielen, die die Grenzen des Verfahrens ausloten und dann mit einigen Fällen, die den praktischen Umgang mit ARM aufzeigen. Zum Schluss werden die Ergebnisse zusammengefasst und die verbleibenden und neu aufgeworfenen Fragen in einem Ausblick (Kapitel 7) diskutiert.

Die Durchführung der Arbeit baut unter anderem auf allgemeinen Wissensgrundlagen auf, für die zahlreiche Quellen zur Verfügung stehen. Statt jeweils die Originalquellen anzugeben, wird aus Gründen des Umfanges an dieser Stelle pauschal auf Nachschlagewerke verwiesen, in denen Grundlagen nachzulesen sind. Für die Mathematik sind dies im Wesentlichen [33] und [297]. Algorithmen und Datenstrukturen, wie sie in der dreidimensionalen Computergrafik Verwendung finden, sind in [108], [8], [155] und [126] nachzulesen. Für die Grundlagen der Akustik wurde [166], [199], [213], [333] und [29] verwendet. Die Verwendung der akustischen Fachbegriffe orientiert sich an [64].

Weitere Darstellungen unter verschiedenen Aspekten findet man zum Beispiel in [95] mit praktischen Planungshinweisen, in [212] mit dem Schwerpunkt Messtechnik, in [198] als Formelsammlung zur Akustik, in [214] geht es eher um den Aspekt der Lärmbekämpfung, und [240] bietet eine eher populärwissenschaftliche Einführung.