Razonamiento

Cuantitativo

EDICIONES UNIVERSIDAD CATÓLICA DE CHILE

Vicerrectoría de Comunicaciones
Alameda 390, Santiago, Chile

editorialedicionesuc@uc.cl
www.ediciones.uc.cl

Razonamiento Cuantitativo

Irene F. Mikenberg Lev

© Inscripción N° 263.498
Derechos reservados
Marzo 2016
ISBN edición impresa 978-956-14-1741-0
ISBN edición digital 978-956-14-2555-2

Diseño: versión | producciones gráficas Ltda.

Diagramación digital:
ebooks Patagonia
info@ebookspatagonia.com
www.ebookspatagonia.com

CIP - Pontificia Universidad Católica de Chile

Mikenberg, Irene
Razonamiento cuantitativo / Irene F. Mikenberg.

1. Lógica matemática – Problemas, ejercicios, etc.

2. Razonamiento – Problemas, ejercicios, etc.

I. t.

2016  511.31 + DC23  RCAA2

Este libro contó con el apoyo de la Vicerrectoría Académica, a través del Fondo de Desarrollo de la Docencia (FONDEDOC).

FACULTAD DE MATEMÁTICAS

Images

Razonamiento

Cuantitativo

Irene F. Mikenberg

images

ÍNDICE

Prólogo

1.PENSAMIENTO CRÍTICO

1.1. ¿Qué es la lógica? Falacias más comunes y argumentos correctos

1.2. Proposiciones, tablas de verdad, diagramas de Venn

1.2.1. La negación

1.2.2. La conjunción

1.2.3. La disyunción

1.2.4. El condicional

1.2.5. El bicondicional

1.2.6. Diagramas de Venn

1.3. Razonamientos deductivos e inductivos

1.4. Razonamiento crítico en la vida diaria o cómo leer el periódico

1.5. Ejercicios propuestos

2.PROPORCIONALIDAD

2.1. Razones, proporciones y porcentajes

2.1.1. Usar porcentajes como fracciones

2.1.2. Usar porcentajes para describir cambios

2.1.3. Usar porcentajes para comparar

2.1.4. Porcentajes de porcentajes

2.1.5. Resumen

2.2. Proporciones en la vida diaria: la regla de tres. Escalas

2.2.1. Proporcionalidad directa

2.2.2. Regla de tres simple

2.2.3. Magnitudes inversamente proporcionales

2.2.4. Regla de tres simple inversa (o directa)

2.2.5. Proporcionalidad compuesta de magnitudes

2.2.5.1. Regla de tres compuesta

2.2.5.2. Una aplicación importante de proporcionalidad

2.3. Ejercicios propuestos

3.ASTRONÓMICAMENTE GRANDE Y MICROSCÓPICAMENTE PEQUEÑO

3.1. Apreciación de las distancias siderales y atómicas. Notación científica

3.2. Precisión y dígitos significativos

3.2.1. Utilizar estimaciones

3.3. Aproximaciones y errores

3.4. Estimaciones: Problemas de Fermi

3.5. Ejercicios propuestos

4.INTERPRETANDO DATOS

4.1. Introducción

4.2. Tablas y gráficos estadísticos

4.3. Gráficos de barra y circulares

4.4. Histogramas y gráficos de línea

4.5. Estableciendo causalidad

4.6. Estadísticos de resumen

4.6.1. ¿Qué es promedio?

4.6.2. Formas de las distribuciones

4.6.2.1. Número de cimas

4.6.2.2. Simetrías

4.6.2.3. Variación

4.6.2.4. Importancia de la variación

4.6.2.5. Cuartiles y los cinco números resumen

4.7. Desviación estándar

4.8. La distribución normal

4.8.1. La desviación estándar en las distribuciones normales

4.9. Percentiles

4.10. Relevancia estadística

4.11. Margen de error e intervalos de confianza

4.12. Un paseo por los términos básicos de probabilidades

4.13. Reglas básicas de la probabilidad

4.14. Combinatoria y probabilidad

4.15. Probabilidad condicional

4.15.1. La regla del producto

4.15.2. Dependencia e independencia de eventos

4.16. Ejercicios propuestos

A.CRONOGRAMA Y TALLERES

A.1. Talleres Capítulo 1

A.1.1.Talleres 1

A.1.2.Talleres 2

A.1.3.Talleres 3

A.2. Talleres Capítulo 2

A.2.1.Talleres 1

A.2.2.Talleres 2

A.2.3.Talleres 3

A.3. Talleres Capítulo 3

A.3.1.Talleres 1

A.3.2.Talleres 2

A.4. Talleres Capítulo 4

A.4.1.Talleres 1

A.4.2.Talleres 2

A.4.3.Talleres 3

A.4.4.Talleres 4

A.4.5.Talleres 5

A.4.6.Talleres 6

B.SOLUCIÓN DE LOS PROBLEMAS PROPUESTOS

B.1.Capítulo 1

B.2.Capítulo 2

B.3.Capítulo 3

B.4.Capítulo 4

C.ÍNDICE ANALÍTICO

C.1.Índice analítico

PRÓLOGO

El Razonamiento cuantitativo es la habilidad de analizar,interpretar, razonar y comunicar eficazmente ideas al mismo tiempo que se plantean, formulan, resuelven e interpretan problemas de una gran variedad de contextos distintos. Este libro tiene como objetivo principal desarrollar ciertas competencias necesarias en el razonamiento lógico-matemático presente en nuestra vida diaria y aplicar este razonamiento para facilitar decisiones y resolver problemas. El énfasis del texto estará en la resolución de problemas de contextos cotidianos diversos usando las habilidades que el alumno ha adquirido. Estas habilidades son: interpretación, análisis, supuestos, cálculo, representación y comunicación. Al desarrollar estas competencias, se puede comprender más a fondo el mundo en que vivimos, tomar mejores decisiones, ser ciudadanos más responsables y librarnos de la manipulación. Se intenta entregar herramientas para comprender más a fondo estas ideas, logrando que los conceptos matemáticos elementales sean fascinantes, gratificantes y comprensibles incluso para alumnos que dicen detestar la matemática como asignatura del colegio.

La palabra anumerismo la popularizó hace 23 años el matemático estadounidense John Allen Paulos en El hombre anumérico, un ensayo que ya es un clásico. Aunque el término no ha entrado en el diccionario, describe una realidad vigente, un tipo de ignorancia que puede afectar a personas cultísimas en otras ramas del saber. Su precio, según Paulos, es alto, a saber:“Usted puede elegir entre tener o no, ciertas nociones numéricas pero si no las tiene, será más manipulable y más proclive a dejarse engañar por charlatanes y pseudocientíficos

Aprovecho en citar también a Emilio Lledó, profesor de Historia de la Filosofía quien “reivindica las matemáticas como una luz para alumbrar un mundo de manipulación informativas. Esta ciencia es una lucha constante con la verdad porque en ella, en su exactitud, no caben las ideas mentirosas”.

Este texto consta de cuatro capítulos y dos anexos.

El primer capítulo presenta los conceptos básicos del razonamiento lógico y es la columna vertebral del resto del libro.

El segundo capítulo introduce los conceptos básicos sobre proporciones y porcentajes enfocados a la resolución de problemas de la vida diaria.

El tercer capítulo nos entrega una mirada para comprender los números astronómicamente grandes y microscópicamente chicos, es decir, nos enseña a aterrizar los números y a resolver problemas que a primera vista, creemos que no tienen solución.

El último capítulo nos permite entender los conceptos básicos de las estadísticas y las probabilidades con que diariamente nos bombardean en la prensa, incluyendo el comprender los distintos tipos de gráficos y tablas estadísticas.

En el apéndice A están las respuestas a los ejercicios propuestos de cada capítulo.

En el apéndice B se entrega una propuesta completa para armar un curso de un semestre de Razonamiento cuantitativo, con propuestas de talleres de trabajo para los alumnos, para las distintas carreras.

Deseo agradecer muy especialmente al profesor Daniel Vidal por sus correcciones, revisión del presente texto y sus invaluables aportes.

IRENE MIKENBERG L.
Santiago, enero de 2016

1 Pensamiento crítico
¿Qué es la lógica?
Falacias más comunes y argumentos correctos
1.1

La palabra lógica está directamente relacionada con la palabra griega logos, que significa en griego antiguo “pensamiento” o “razón”, pero también “palabra” o “conocimiento”. La lógica era “lo relativo al logos”.

Podríamos definir lógica como el conjunto de conocimientos que tienen por objeto el enunciado de las leyes que rigen los procesos del pensamiento humano, así como de los métodos que han de aplicarse al razonamiento y la reflexión para lograr un sistema que conduzca a resultados que puedan considerarse certeros o verdaderos. El raciocinio, puede definirse como un proceso del pensamiento humano que a partir de ciertos conocimientos establecidos (llamados premisas), conduce a adquirir un conocimiento nuevo (llamado conclusión), sin que para ello haya que recurrir a nuevas constataciones u observaciones adicionales a las ya contenidas en las premisas.

La expresión argumento se referirá a un proceso razonado que constará por su parte, de una serie de premisas que tienen como consecuencia una conclusión. Un argumento es correcto si aplicado a premisas que suponemos verdaderas, la conclusión es necesariamente verdadera. El primer paso para estudiar la corrección de un argumento es identificar cuáles son las premisas y cuál es la conclusión. Algunos argumentos pueden presentar fuertes evidencias que la conclusión es correcta y otros, no tanto.

En el caso en que un argumento no entregue suficiente evidencia para que la conclusión sea verdadera, se dice que es una falacia. Consideremos el siguiente argumento:

Si el universo ha sido creado por una inteligencia superior, tendríamos que observar orden y organización en el mundo. Como vemos orden y organización en el mundo, está claro que el universo ha sido creado por una inteligencia superior.

Este argumento parece aceptable, pero si asumimos que “Si A, entonces B. B es verdad. Por lo tanto A es verdad”, es un argumento correcto, entonces podríamos concluir que el argumento “Si está nevando, entonces hace frío. Hace frío. Luego está nevando” es correcto, lo cual es claramente falso, pues que haga frío se puede deber a muchos factores distintos al hecho mismo de que esté nevando.

Las falacias son muy comunes en la vida diaria, podemos encontrarlas en señaléticas, en publicidad, en campañas políticas, en comentarios editoriales, etcétera.

Comenzaremos nuestro estudio del pensamiento crítico, con el análisis de algunos ejemplos de las falacias más usuales.

Argumentum ad hominem (Dirigido al hombre)

En este tipo de falacias se refuta una conclusión (resultado o testimonio), desacreditando a la fuente que lo emite y no a los argumentos que llevan a esa conclusión. Para desacreditar un estudio es usual usar como argumento que quien lo realizó no es confiable (Figura 1.1).

Ejemplos

“Esas cifras sobre la influencia del consumo de café en las personas son falsas, ya que el estudio fue pagado por una compañía importadora de té ”.

“Yo no creo que este remedio para la obesidad sea efectivo porque en la clínica Mayo lo recomiendan”.

Análisis

Sin duda uno debe revisar con mayor atención un estudio hecho a petición de un grupo con intereses creados, pero los resultados obtenidos en ese estudio no necesariamente deben ser falsos.

La falacia se presenta al aceptar como verdadero que todo lo afirmado por alguien poco confiable es falso, es decir, tiene la forma siguiente: “Si una persona determinada afirma p, entonces p no es verdad”.

Opuesta a la falacia anterior es:

Argumentum ad verecundiam (Dirigido al respeto)

En este tipo de falacias se acepta una conclusión usando como argumento el prestigio del experto que la emite.

Ejemplos

Images

Figura 1.1: Caricatura de Darwin como un simio en la revista Hornet. Se observa con las características propias de los simios como el mentón, las cejas y la forma de su cabeza, como modo de burla a su teoría de la evolución del simio al hombre.

“ Marcelo Salas era mejor que Iván Zamorano, porque me lo dijo mi papá”.

“La mecánica cuántica está errada, y de eso estoy seguro porque Einstein lo dijo”.

“Yo creo que este remedio para la obesidad es efectivo porque en la clínica Mayo lo recomiendan”.

Análisis

Este tipo de falacias se produce al suponer que las opiniones vertidas por alguien con gran prestigio son necesariamente válidas. Puede producirse un error si la opinión emitida se refiere a algo no relacionado con el campo de competencia del experto o simplemente porque el experto no es infalible. Esta falacia tiene la siguiente forma:“p es verdad porque lo dijo alguien confiable”.

Argumentum ad populum (Dirigido al pueblo)

Esta falacia se presenta al suponer que por el hecho de que mucha gente crea en algo o se actúe de una cierta manera, esa creencia o ese actuar es el mejor. En publicidad es común usar como argumento para preferir una cierta marca que la mayoría de las personas la prefieren.

Ejemplo

“ ¿Cómo no va a existir Dios? ¿Puede tanta gente estar equivocada?”.

Images

Figura 1.2

Análisis

En este ejemplo, la argumentación es que si la mayoría de las personas usan o prefieren algo, ese algo es la mejor opción.

De hecho, la publicidad influye mucho sobre las decisiones de las personas, en algunos casos la mayoría de las personas consume un determinado producto, no porque sea la mejor opción, simplemente porque es el que tiene mejor campaña publicitaria. La forma de estas falacias es “si mucha gente cree que p es verdad, entonces p es verdad”.

Argumentum ad ignorantiam (Dirigida a la ignorancia)

Este tipo de falacias se presenta al dar como argumento que si un hecho nunca ha sido presenciado o si no está demostrado, entonces es falso. Es claro ver que esto es una falacia porque, a pesar de que no se ha demostrado ni la existencia ni la no existencia de vida semejante a la humana en otras galaxias, una de estas dos alternativas es verdadera.

Ejemplo

“Mi vecino es un loco, cree en la existencia de platillos voladores provenientes de otros mundos”.

Análisis

La falacia se presenta al aceptar verdadero solo aquello que ha sido demostrado o presenciado (Figura 1.3).

Images

Figura 1.3:
Scully:“¿Que tu hermana fue abducida por alienígenas? Eso es ridículo”.
Mulder: “Bueno, mientras no puedas probar lo contrario, tendrás que aceptar que es cierto”. (De la serie de televisión Expediente X)

La forma de estas falacias es: “Si no hay una demostración de que p es verdad, entonces p es falso".

Cum hoc ergo propter hoc (A causa de esto)

Esta falacia se comete al inferir que existe una relación causal entre dos o más eventos por haberse observado una correlación estadística entre ellos.

Ejemplo

El gallo siempre canta antes de la salida del sol, por lo tanto el canto del gallo provoca que salga el sol.

El porcentaje de niños con síndrome de Down es mayor cuando la madre es menor de 15 años o mayor de 40 en el momento del parto que cuando la edad de la madre está entre esos valores, por lo tanto la edad de la madre influye en la posibilidad de tener un hijo con síndrome de Down.

Análisis

Muchas veces se acepta el argumento de que si cierto fenómeno F se presenta con mayor frecuencia cuando ocurre cierto hecho A que cuando no ocurre A, entonces A causa F.

Images

Figura 1.4:
Correlación versus causalidad

Si bien este argumento parece correcto, no se considera la posibilidad de que A se dé en forma simultánea con un hecho B, y sea B quien cause F (Figura 1.4).

De hecho en el segundo ejemplo, se tiene que por lo general, mujeres muy jóvenes tienen parejas muy jóvenes y mujeres mayores tienen parejas mayores, por lo que podría ser la edad del padre la que influye sobre la posibilidad de tener un hijo con síndrome de Down.

La forma de estas falacias es: si p y q pueden relacionarse una o varias veces, entonces p es la causa de q.

Falacia de la desviación

Esta falacia se produce cuando se tiene un argumento para relacionar un par de eventos y alguna evidencia sobre uno de ellos hace que se concluya que el otro evento es verdad.

Ejemplo

No deberíamos seguir financiando investigaciones sobre clonaciones de genes humanos, porque hay demasiados problemas éticos involucrados. La ética es el alma de toda sociedad y no podemos darnos el lujo de tener más problemas éticos sin resolver.

Análisis

Si de alguna manera p se relaciona con q y tengo algún argumento que concierne p, entonces q es verdad.

Falacia del hombre de paja

Una falacia usada frecuentemente por los participantes de un foro es deformar lo afirmado por un contrincante para debilitar su posición, ya sea tergiversando sus palabras o sacándolas de contexto.

Ejemplos

Consideremos la afirmación:
“Nosotros queremos construir un puente hacia el futuro. Bob Dole habla de construir un puente hacia el pasado”. Bill Clinton.
“Los del Partido Popular no creen en la democracia”. F. González.

- ¿Acaso las centrales nucleares no tienen accidentes?
- Siempre cabe la posibilidad de que tengan un accidente, por remoto que sea.
- Usted lo ha dicho. Puede tener un accidente, luego son peligrosas.

Análisis

En este tipo de falacias, se niega una afirmación tergiversando o sacando de contexto lo afirmado por alguien. Este tipo de falacias tiene la forma:“Si tengo un argumento que involucra una verión distorsionada de p, entonces afirmo la verdadera versión de p″.

Falacia del consecuente o elección limitada

Esta falacia se produce cuando se afirma como verdadera una causa posible para un suceso observado. Sin embargo, puede ser que haya una gran cantidad de causas diferentes que producen el suceso.

Ejemplo

“Sin duda José ve televisión hasta tarde ya que padece de insomnio y se sabe que ver tele hasta tarde produce insomnio”.

Análisis

En este tipo de falacias, se afirma como verdadera una de las posibles causas de un suceso verdadero.

La forma de esta falacia es: “ Si ( p → q ) es verdad y q es verdad, entonces p es verdad”.

Falacia del antecedente

Esta falacia es muy similar a la anterior, se produce cuando en un argumento condicional se niega el antecedente y se concluye la negación del consecuente.

Ejemplo

Ver tele hasta tarde produce insomnio. Como yo nunca veo tele hasta tarde, nunca padeceré de insomnio.

Análisis

En este tipo de falacias se argumenta que si una de las posibles causas de una afirmación es falsa, entonces la afirmación es falsa.

La forma de estas falacias es:“ Si (p → q) es verdad y p es falso, entonces q es falso”.

Generalizaciones negligentes

Como su nombre lo indica esta falacia se presenta al generalizar una situación basándose en muy pocas evidencias.

Ejemplos

Dos casos de leucemia infantil ocurrieron en niños que vivían en una calle donde hay una torre de telefonía celular. Las ondas emitidas por esta torre deben ser la causa de la enfermedad de estos niños.

Yo sé que a todos los jóvenes les gusta leer porque a todos mis compañeros les gusta. Si esta afirmación la hace un estudiante de literatura es claro que estamos ante un caso de generalización inadecuada. Con este ejemplo se muestra claramente la falacia, ya que esta afirmación la podría estar haciendo un estudiante de literatura.

Análisis

La falacia en este argumento se produce porque la premisa cita un número reducido de casos, los cuales no son prueba suficiente para la conclusión.

Falacia de la casuística

Esta falacia es inversa a la anterior, rechaza una generalización esgrimiendo excepciones.

Ejemplo

¿Cómo pueden decir que las madres darían todo por sus hijos si ayer aparecieron abandonadas en un auto dos gemelas recién nacidas?

Análisis

La falacia se produce en este argumento cuando, en algunos casos, p puede relacionarse con la negación de q, entonces nunca q es la consecuencia de p. Su forma es: “Si alguna vez p y no q aparecen relacionadas, entonces nunca p causa q”.

Falacia del uso indebido de términos emocionales

Este tipo de falacias se produce al emplear palabras que tienen la intención de ofuscar emocionalmente el tema tratado, no contribuyendo a una clara reflexión.

Ejemplo

En una propaganda de una marca X de auto aparece la foto de tu mujer e hijos con las palabras: Porque nos quieres seguros y protegidos, debes comprar el auto marca X.

Análisis

Este argumento no representa un argumento lógico, solo tiene la esperanza de que tu amor por tu familia te haga comprar el auto de marca X. Es decir, apela a sentimientos. Su forma es: si p es una proposición que está asociada con alguna reacción emocional positiva, entonces p es verdad.

Razonamiento circular

Esta falacia se presenta cuando se utiliza un argumento en que se supone como ya demostrado aquello que se debe demostrar.

Ejemplo

La sociedad tiene una obligación con los desposeídos, porque los necesitados tienen derechos sobre los bienes de la comunidad.

La competencia es buena para la economía, porque la competencia significa que cada cual quiere ser el mejor, el más rápido y el más barato, porque después de todo, cada cual quiere ser competitivo para poder competir con otros, ya que esto es bueno para la economía.

Análisis

En el primer argumento la premisa es “los necesitados tienen derechos sobre los bienes de la comunidad” y la conclusión es “la sociedad tiene una obligación con los desposeídos”, y si lo pensamos bien, ambas proposiciones tienen el mismo significado, es decir: La sociedad tiene una obligación con los desposeídos si y solamente si los necesitados tienen derechos sobre los bienes de la comunidad. Es decir, tenemos un argumento circular. Su forma es: “Si p es equivalente con q, entonces p es verdadero”.

En el segundo argumento apreciamos la misma situación, pero esta vez tenemos una primera premisa: “La competencia es buena para la economía”, y una primera conclusión que sirve como premisa para una segunda conclusión y esta, a su vez, sirve como premisa a una tercera conclusión en donde finalmente se concluye: “La competencia es buena para la economía”. Este ejemplo muestra que se pueden tener argumentos anidados que, en su conjunto, toman la forma de un argumento circular.

Images

Figura 1.5:
En el diálogo entre el Principito y el Bebedor encontramos un ejemplo de un argumento circular, pues el Bebedor bebía para olvidar que tenía vergüenza de beber.

Proposiciones, tablas de verdad, diagramas de Venn 1.2

Como base de nuestro razonamiento lógico, aceptaremos el principio de bivalencia que afirma que toda afirmación es verdadera o falsa, pero no ambas a la vez. Una proposición es una frase que puede ser verdadera o falsa. Debe tener la estructura de una oración completa.

Ejemplo

Los siguientes son ejemplos de proposiciones:

Tengo hambre

Tres es mayor que cuatro

Carlos está sentado

2 + 5 = 8

Las siguientes expresiones no son proposiciones:

Tres más dos

¿Está lloviendo?

El papá le dio un regalo a un hijo

Cinco kilómetros al norte de aquí

Notemos que si bien la frase:“El papá le dio un regalo a su hijo", tiene la forma de una proposición; sin embargo, no lo es, porque depende de quién sea el padre y de quién sea el hijo.

A partir de proposiciones básicas como las anteriores, se pueden formar nuevas proposiciones usando conectivos como “y ”, “o ”, “no ”,etcétera. El significado de ellos será siempre el mismo y el valor de verdad de una proposición que los incluye dependerá solo de los valores de verdad de la proposiciones que la conforman. En el lenguaje natural un mismo conectivo se puede interpretar de distintas maneras según el contexto. Por ejemplo, la afirmación “Tomé desayuno y me duché”, lleva implícita una cierta noción de temporalidad, se interpreta como “Tomé desayuno y después me duché”, no es el caso de la afirmación: “ Me comí una pera y una manzana”.

Análogamente, si en la promoción de un restaurante se ofrece un menú fijo con plato de entrada, plato principal y café o postre, se entiende que el cliente debe elegir uno de ellos, café o postre. Por otra parte, si en la promoción de un seguro de salud se dice que cubre hospitalización en caso de enfermedad o accidente, se subentiende que si una persona está enferma y sufre un accidente el seguro cubre ambos siniestros.

La negación 1.2.1

La negación es un conectivo unario, que actuando sobre la proposición p genera la proposición negación de p, la cual es verdadera si p es falsa y falsa si p es verdadera. Por lo general la negación de p se lee no p y se denota simbólicamente por ¬p.

Por ejemplo, la negación de “Dos es par” es “Dos es impar” y la de “Carlos está sentado” es “Carlos no está sentado”. Cuidado, en este caso la negación no es “Carlos está parado”, pues hay muchas más opciones para Carlos en caso de no estar sentado.

Podemos representar la asignación de los valores de verdad por medio de las llamadas tablas de verdad. En el caso de ¬p, como el conectivo es unario, solo necesitamos considerar los dos posibles valores de verdad de la proposición original.

Proposición Representación Lectura
Negación de p ¬p no p

Tabla 1.1: Representación de la negación

Lo que acabamos de decir en palabras, podemos graficarlo mediante lo que se conoce como una tabla de verdad:

p ¬p
V F
F V

Tabla 1.2: Tabla de verdad de la negación

Ejemplo

Dada la proposición: “Mila es la mejor alumna del curso”, escriba su negación. Si la negación es falsa, ¿es Mila la mejor alumna del curso?

Solución

La negación de la proposición es: “Mila no es la mejor alumna del curso”. Si “Mila no es la mejor alumna del curso” es falsa, entonces la proposición original es verdadera.

Muchas frases del diario vivir contienen varias negaciones que no se dicen en forma explícita:

Ejemplo

“No es verdad que no estoy en desacuerdo contigo”.

Solución

¿Cómo entender esta frase? La proposición básica “estoy de acuerdo contigo” es verdadera siempre y cuando la proposición “ estoy en desacuerdo contigo” sea falsa. Por lo tanto en ese caso, “yo no estoy en desacuerdo contigo” sería verdadera, luego “no es verdad que yo no estoy en desacuerdo contigo” sería falsa. La frase dada contiene una triple negación, vemos que tiene el valor de verdad opuesto al de la proposición “estoy de acuerdo contigo”.

Otro ejemplo es: “Yo no pienso en dejar de ir a la fiesta”.¿Cómo entiende usted esta frase?

La conjunción 1.2.2

La conjunción es un conectivo binario que a partir de las proposiciones p y q forma una nueva proposición llamada la conjunción de p y q, la cual es verdadera si y solo si ambas p y q lo son.

Ejemplo

a)El restaurante es caro y malo

b)A pesar de que el restaurante es caro, es malo

c)Aunque el restaurante es malo, es caro

Solución

En los ejemplos anteriores notamos distintas intenciones; sin embargo, en los tres casos, las proposiciones son verdaderas si el restaurante es efectivamente caro y es malo. Por lo tanto, en los tres ejemplos, el conectivo que une las proposiciones el restaurante es caro y el restaurante es malo, es la conjunción.

La conjunción de p y q se lee p y q y se denota simbólicamente por p ∧ q.

Proposición Representación Lectura
Conjunción de p y q (p ∧ q) p y q

Tabla 1.3: Representación de la conjunción

En este caso, para graficar su tabla de verdad tenemos que considerar todas las combinaciones posibles de valores de verdad de las dos proposiciones que componen esta nueva proposición. Tanto p como q tienen cada una de ellas dos posibles valores de verdad (V o F); por lo tanto, hay cuatro casos a considerar:

p q (p ∧ q)
V V V
V F F
F V F
F F F

Tabla 1.4: Tabla de verdad de la conjunción

De acuerdo con la definición de los conectivos dados vemos que para toda afirmación p, independientemente de lo que p afirme, la proposición (p ∧ ¬p) es siempre falsa y por lo tanto la proposición ¬(p ∧ ¬p) es siempre verdadera. Las proposiciones que son por su estructura lógica siempre verdaderas, independientemente de lo que afirmen las proposiciones que la conforman, se llaman tautologías.

Ejemplo

Determinar el valor de verdad de las siguientes proposiciones:

a)Santiago es la capital de Chile y Brasilia, la capital de Brasil.

b)París es la capital de Francia y Madrid no es la capital de España.

Solución

En el caso a) tenemos que la proposición es verdadera, dado que tanto “Santiago es la capital de Chile” como “Brasilia es la capital de Brasil” son verdaderas. Sin embargo en b) tenemos que “París es la capital de Francia” es verdad, pero “Madrid no es la capital de España” es la negación de una proposición verdadera y por lo tanto es falsa; luego nos encontramos en la situación de la segunda fila de la tabla de verdad que nos dice que la proposición es falsa.

Observación

A pesar de que el conectivo lógico y es muy similar a la conjunción en español, de todas maneras podemos encontrar algunas diferencias. Por ejemplo: si afirmamos que “Paty y Germán son ingenieros”, esto es equivalente a la conjunción lógica de “Paty es ingeniero” y “Germán es ingeniero”. Por otro lado, si afirmamos que “Paty y Germán están casados”, esto no es lo mismo que decir “Paty está casada” y “Germán está casado”.

Piense en otros ejemplos en que la conjunción lógica y la usual no coinciden. En el lenguaje natural, en algunos casos el conectivo y tiene asociada una noción de temporalidad. Por ejemplo: Anoche comí una manzana y me fui a acostar. En este caso está implícito que primero comí la manzana y después me fui a acostar.

La disyunción 1.2.3

La disyunción es un conectivo binario que a partir de las proposiciones p y q forma una nueva proposición llamada la disyunción de p y q, la cual es falsa si y solo si ambas, p y q son falsas. La disyunción de p y q se lee p o q y se denota simbólicamente por p ∨ q.

Vemos que para toda afirmación p, independientemente de lo que afirma, la proposición (p ∨ ¬p) es siempre verdadera. El hecho de que (p ∨ ¬p) sea una tautología, se conoce como la regla del tercero excluido.

Proposición Representación Lectura
Disyunción de p y q (p ∨ q) p o q

Tabla 1.5: Representación de la disyunción

p q (p ∨ q)
V V V
F V V
V F V
F F F

Tabla 1.6: Tabla de verdad de la disyunción

Ejemplo

Determinar el valor de verdad de las siguientes proposiciones:

a)Las vacas vuelan o los pájaros tienen plumas.

b)La nieve es blanca o las estrellas brillan.

Solución

En el caso a) la proposición está formada por dos proposiciones: “las vacas vuelan” y “los pájaros tienen plumas”. Como “las vacas vuelan” es falso, pero “los pájaros tienen plumas” es verdadero, estamos en la situación de la segunda línea de la tabla de verdad y obtenemos que la proposición original es verdadera. En el caso b) la proposición está formada por dos proposiciones: “la nieve es blanca” y “las estrellas brillan”. Como “la nieve es blanca” es verdadera y “las estrellas brillan” también lo es, estamos en la situación de la primera línea de la tabla de verdad y obtenemos que la proposición original es verdadera.

Si retomamos los ejemplos del comienzo de esta sección, a saber:

Ejemplo

a)En la promoción de un restaurante se ofrece un menú fijo con plato de entrada, plato principal y café o postre.

b)En la promoción de un seguro de salud se dice que cubre hospitalización en caso de enfermedad o accidente.

Solución

Ambos ejemplos parecen tener la misma estructura, representada por la diyunción de dos proposiciones, pero esto no es así. En el ejemplo a), la o que aparece es excluyente, pues nuestra alternativa consiste en escoger entre café o postre, pero no ambos. En cambio en el ejemplo b), la o que aparece es incluyente, porque la poliza cubrirá hospitalización en caso de enfermedad, en caso de accidente o en ambas. En el diario vivir solo podemos deducir de cual o se trata por el contexto de la frase; sin embargo, en lógica siempre se interpreta como un o incluyente a menos que se especifique lo contrario. Lao incluyente que une dos proposiciones para formar una tercera proposición, se lee como y/o.

El condicional 1.2.4

El condicional es un conectivo binario que a partir de las proposiciones p y q forma una nueva proposición llamada el condicional de p y q (en ese orden), la cual es falsa si y solo si p es verdadera y q es falsa. El condicional de p y q se lee si p, entonces q y se denota simbólicamente por (p → q) y p se llama el antecedente y q se llama el consecuente.

Proposición Representación Lectura
Implicación de p a q (p → q) Si p, entonces q

Tabla 1.7: Representación del condicional

Para ver la tabla de verdad de este tipo de proposiciones, analicemos la siguiente situación:“En una ocasión una profesora afirmó que a los alumnos que traían la tarea la clase siguiente les subiría en un punto la nota de taller”. En este caso, p es si traes la tarea la próxima clase y q es tendrás un punto más en la nota del taller. Recordemos que toda proposición siempre es verdadera o es falsa. En este caso, ¿cuándo un alumno podría afirmar que la profesora mintió?

Vemos que esto se da solo cuando un alumno trae la tarea y no se le sube la nota de taller, es decir, cuando p es verdadero y q es falso.

Luego, la tabla de verdad del condicional está dada por la tabla 1.8:

A partir de la tabla podemos rescatar que una proposición condicional es falsa solo cuando el antecedente es verdadero y el consecuente es falso.

p q (p → q)
V V V
F V V
V F F
F F V

Tabla 1.8: Tabla de verdad del condicional

Ejemplo

Determinar el valor de verdad de las siguientes proposiciones referidas a las personas:

a)Si tiene 50 años, entonces es mayor de edad

b)Si es gordo es flojo

c)Si es madre es mujer

d)Si es hombre es padre

Solución

El primer ejemplo vemos que no puede darse el caso de que el antecedente “tiene 50 años” sea verdadero y que el consecuente “es mayor de edad” sea falso, por lo tanto la proposición es verdadera. En el segundo ejemplo, podría darse el caso de que el antecedente sea verdadero y el consecuente falso, por lo tanto la implicación no es verdadera. El ejemplo c) es similar al a) y por la misma razón es verdadero. En el ejemplo d) puede darse el caso de ser hombre, pero no ser padre y por lo tanto, la proposición es falsa.

Otras maneras usuales de traducir “Si p, entonces q ” son las siguientes:

p es suficiente para que se cumpla q

De p se obtiene q

p implica q

q se cumple cada vez que p se cumple

El orden de las proposiciones no influye en los casos de la conjunción y de la disyunción, es decir, “p y q ” tiene el mismo significado que “q y p ”. A partir del condicional (p → q) podemos formar nuevos condicionales. La siguiente tabla muestra todas las posibilidades con sus nombres respectivos.

Nombre Forma Ejemplo
Condicional de (p → q) Si p, entonces q Si nieva, entonces hace frío
Recíproco de (p → q) Si q, entonces p Si hace frío, entonces nieva
Inverso de (p → q) Si no p, entonces no q Si no nieva, entonces no hace frío
Contrapositivo de (p → q) Si no q, entonces no p Si no hace, frío entonces no nieva

Tabla 1.9: Tipos de condicionales

Así, si el condicional es: “Si es madre es mujer”, el converso es “Si es mujer es madre”, el inverso es “Si no es madre no es mujer” y el contrapositivo es: “Si no es mujer no es madre”. Con lo que ya hemos visto podemos construir la tabla de verdad de todas las proposiciones recién mencionadas:

Images

Tabla 1.10: Tabla de verdad para cada tipo de condicional

El bicondicional 1.2.5

El bicondicional es un conectivo binario que a partir de las proposiciones p y q forma una nueva proposición llamada el bicondicional de p y q, la cual es verdadera siempre y cuando p y q tengan el mismo valor de verdad. El bicondicional de p y q se lee p si y solo si q y se denota simbólicamente por p ↔ q:

Proposición Representación Lectura
Implicación de p a q (p ↔ q) p si y solo si q

Tabla 1.11: Representación del bicondicional

La tabla de verdad del bicondicional está dada por la Tabla 1.12:

p q (p ↔ q)
V V V
F V F
V F F
F F V

Tabla 1.12: Tabla de verdad del bicondicional

Ejercicio

Si p y q representan dos proposiciones, entonces utilizando conectivos, represente las siguientes proposiciones:

a)p sin embargo q

b)p es falso

c)Al menos p o q

d)p y además q

e)p es necesario para q

f)ni p ni q

g)p a menos que q

h)A pesar de p, q

i)p siempre y cuando q

j)p es suficiente para q

k)q no obstante p

l)A lo más p o q

Equivalencia lógica

Notemos que la quinta y la octava columna de la Tabla 1.10 son iguales y también la sexta y la séptima son iguales entre sí. Decimos que dos proposiciones son lógicamente equivalentes si tienen los mismos valores de verdad. Por lo tanto, una proposición condicional y su contrapositiva son lógicamente equivalentes.

Las proposiciones lógicamente equivalentes son muy importantes porque como tienen los mismos valores de verdad, cuando deseamos demostrar una, nos basta con demostrar la que es lógicamente equivalente a ella.

Ejemplo

Dada la proposición “Si Madrid es la capital de España, entonces Londres es la capital de Francia”, escriba su converso, inverso y contrapositivo. Determine el valor de verdad de cada una de ellas y de la original. ¿Hay algún par de ellas lógicamente equivalentes?

Solución

El recíproco es: Si Londres es la capital de Francia, entonces Madrid es la capital de España.

El inverso es: Si Madrid no es la capital de España, entonces Londres no es la capital de Francia.

El contrapositivo es: Si Londres no es la capital de Francia, entonces Madrid no es la capital de España.

La proposición original es falsa, pues su antecedente es verdadero y su consecuente es falso.

El recíproco es verdadero porque su antecedente es falso y su consecuente es verdadero.

El inverso es verdadero porque su antecedente es falso y su consecuente también lo es.

El contrapositivo es falso porque el antecedente es verdadero y su consecuente es falso.

La proposición es lógicamente equivalente a su contrapositivo y el recíproco es lógicamente equivalente a la inversa. Por lo visto anteriormente ¬ ¬p es lógicamente equivalente a p, veamos qué pasa al negar proposiciones de otras formas. En efecto, la afirmación “no es cierto que yo no estoy mintiendo” es equivalente a la afirmación “yo estoy mintiendo”.

Tenemos que (p ∧ q) es verdadera si ambas p y q son verdaderas, por lo tanto para que ¬(p ∧ q) sea verdadera basta que al menos una de ellas p o q sea falsa, o sea una de ellas ¬p o ¬q sea verdadera. Por lo tanto ¬(p ∧ q) es lógicamente equivalente a (¬p ∨ ¬q). Por ejemplo, la afirmación “ no es verdad que el restaurante sea malo y caro” es equivalente a “el restaurante no es malo y/o no es caro”.

Otra forma de verlo es que para que la negación de (p ∧ q) sea verdadera es necesario que si p, es verdadera entonces q necesariamente debe ser falsa, es decir, se debe cumplir que (p → ¬q) sea verdadera. Por otra parte si (p → ¬q) es verdadera, entonces p es falsa y/o ¬q es verdadera. Por lo tanto ¬(p ∧ q) es equivalente a (p → ¬q).

Análogamente, (p ∨ q) es falsa si ambas, p y q son falsas, por lo tanto para que ¬(p ∨ q) sea verdadera, ambas, p y q, deben ser falsas, o sea, ¬p y ¬q deben ser ambas verdaderas. Por lo tanto ¬(p ∨ q) es lógicamente equivalente a (¬p ∧ ¬q). Por ejemplo, la afirmación “no es cierto que la póliza cubre hospitalización por enfermedad o accidente” es equivalente a decir “la póliza no cubre hospitalización por enfermedad y no cubre hospitalización por accidente”.

Tenemos que (p → q) es falsa si p es verdadera y q es falsa, por lo tanto para que ¬(p → q) sea verdadera, ambas, p y ¬q deben ser verdaderas. Por lo tanto ¬(p → q) es lógicamente equivalente a (p ∧ ¬q). Por ejemplo, la afirmación “no es cierto que si son gemelos, son iguales” es equivalente a “son gemelos y no son iguales”.

Por último (p ↔ q) es verdadera si ambas, p y q tienen el mismo valor de verdad, por lo tanto ¬(p ↔ q) es verdadera si p es verdadera y q es falsa, o si p es falsa y q es verdadera. Vemos así que ¬(p ↔ q) es lógicamente equivalente a (p ∧ ¬q) (¬p ∧ q). Por ejemplo, la afirmación “es cantante siempre y cuando tenga buena voz”, es falsa si y solo si “es cantante y no tiene buena voz ”y/o “no es cantante y tiene buena voz”.

Ejemplo

Usando tablas de verdad demuestre que ¬(p ∧ q) es lógicamente equivalente a (p → ¬q) y ¬(p ↔ q) es lógicamente equivalente a (p ∧ ¬q) (¬p ∧ q)

Solución

Images

Ahora podemos determinar si algunos argumentos son correctos; como se indica en la página 1, para que esto ocurra, es necesario que si todas las premisas las suponemos verdaderas, la conclusión también debe serlo. Notemos que de acuerdo a esta definición a partir de una premisa falsa se puede concluir correctamente cualquier afirmación. Por ejemplo, por medio de un argumento correcto, a partir de la premisa 1 = 0 podemos deducir que “yo soy un gato”. Considere el siguiente argumento: Si 1 = 0, entonces 1 + 1 = 0 + 1. por lo tanto 2 = 1. Mi gato Balú y yo somos dos seres vivos, pero 2 = 1 somos el mismo ser.